التباين والانحراف المعياري

كل لعبة كازينو، سواء كانت تقليدية أو في كازينو على الإنترنت، لها ميزة لصالح البيت: فإذا راهن شخص بمبلغ 100 دولار، فإن ميزة البيت تتوقع مقدار العائد الذي سيحصل عليه اللاعب من هذه الـ100 دولار في المتوسط. على سبيل المثال، عند لعب الروليت، سيحصل اللاعب على نحو 94.74 دولاراً. وعند لعب البلاك جاك المباشر، يستعيد اللاعب نحو 99.54 دولاراً. وعند لعب Three Card Poker (رهان Ante/Play فقط)، يستعيد اللاعب نحو 96.63 دولاراً. هذه القيم هي «العائد المتوسط» الذي يحصل عليه اللاعب عندما يضع رهاناً مبدئياً بقيمة 100 دولار، وهي تتوافق مع ميزة البيت في كل لعبة.

وبالطبع، لا يستعيد اللاعب أبداً 94.74 دولاراً أو 99.54 دولاراً أو 96.63 دولاراً بالضبط في نهاية أي جولة. فقد يخسر رهانه البالغ 100 دولار، أو قد تنتهي الجولة بالتعادل، أو قد يفوز بـ100 دولار أو 200 دولار، أو قد يحدث شيء آخر. على سبيل المثال، إذا وضع اللاعب 100 دولار على الرقم 34 الأحمر في الروليت وفاز، فسيكسب 3,500 دولار. وإذا قام لاعب البلاك جاك بتقسيم يده إلى أربع أيدٍ، وضاعف الرهان على كل واحدة منها، ثم رأى الموزّع يحصل على 21 من ست بطاقات ليتغلب عليه في جميع الأيدي، فسيخسر اللاعب 800 دولار. وفي كل مرة تنتهي جولة، سيكون المبلغ الذي يفوز به اللاعب أو يخسره فعلياً قيمة تختلف عادةً عن العائد المتوسط الذي يتوقعه. وعلى المدى الطويل، ستتوازن هذه العوائد المختلفة. العائد المتوسط هو نسبة مجموع جميع العوائد إلى مجموع جميع الرهانات المبدئية.

نحن بحاجة إلى مقياس يوضّح مدى ابتعاد العوائد المختلفة في الجولات الفردية من لعبة الكازينو عن العائد المتوسط. وهنا يأتي دور الانحراف المعياري والتباين.

يمكن فهم الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات بشكل بديهي على أنه «متوسط المسافة بين قيمة البيانات ومتوسط البيانات». ومن المعتاد استخدام الحرف اليوناني σ للدلالة على الانحراف المعياري. وقيمة البيانات تعني إحدى القيم التي تم جمعها. بعض هذه القيم سيكون أقل من متوسط البيانات، وبعضها سيكون أكبر من المتوسط، وبعضها قد يساوي المتوسط. وكل قيمة تبعد مسافة معينة عن متوسط البيانات. والهدف هنا هو إيجاد «متوسط» المسافة عن المتوسط.

هناك جانب تقني في الانحراف المعياري ينبع من معنى إيجاد «المتوسط». ونوضح هذه النقطة التقنية بالنظر أولاً إلى طريقتين لإيجاد متوسط القيمتين X و Y.

إحدى طرق حساب متوسط القيمتين X و Y هي حساب القيمة (X + Y)/2. على سبيل المثال، إذا كانت X = 3 و Y = 5، فإن المتوسط هو (3 + 5)/2 = 8/2 = 4. وتُعرف هذه الطريقة في حساب المتوسط باسم «المتوسط الحسابي».

وهناك طريقة أخرى لحساب متوسط القيمتين X و Y وهي أخذ الجذر التربيعي لمتوسط مجموع المربعات. أي أن المتوسط هو sqrt((X2 + Y2)/2). على سبيل المثال، إذا كانت X = 3 و Y = 5، فإن الطريقة الثانية تعطي sqrt((32 + 52 )/2) = sqrt(34/2) = 4.12. لاحظ أن هذه القيمة أكبر قليلاً من 4، وهي المتوسط الحسابي. وتُعرف هذه الطريقة في حساب المتوسط باسم «جذر متوسط المربعات».

وعند وجود قيم أكثر، تُستخدم طريقة مشابهة لحساب هذه المتوسطات. على سبيل المثال، مع القيم 3، 7، 8، 2، يكون المتوسط الحسابي (3 + 7 + 8 + 2)/4 = 5. وبالمثل، يكون جذر متوسط المربعات sqrt((32 + 72 + 82 + 22)/4) = sqrt((9 + 49 + 64 + 4)/4) = sqrt(126)/4 = 5.61. ولاحظ مرة أخرى أن جذر متوسط المربعات أكبر قليلاً من المتوسط الحسابي. وفي حالة الانحراف المعياري، يُحسب المتوسط باستخدام الطريقة الثانية. والسبب هو أن بعض النظريات الأعمق تعتمد على خصائص دقيقة يتميز بها جذر متوسط المربعات ولا يتميز بها المتوسط الحسابي.

لحساب الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات:

1. أوجد المتوسط الحسابي للبيانات. 2. أوجد مسافة كل قيمة عن المتوسط الحسابي. 3. ربّع كل واحدة من هذه المسافات. 4. احسب المتوسط الحسابي للمربعات. 5. خُذ الجذر التربيعي للقيمة الناتجة في الخطوة 4.

على سبيل المثال، يُحسب الانحراف المعياري للقيم 3 و7 و8 و2 كما يلي:

1. المتوسط الحسابي هو (3 + 7 + 8 + 2)/4 = 5. 2. مسافة كل رقم عن 5 هي: -2، 2، 3، و-3. 3. مربّع هذه المسافات يعطي القيم 4، 4، 9 و9. 4. المتوسط الحسابي للمربعات يعطي (4 + 4 + 9 + 9)/4 = 26/4. 5. الجذر التربيعي للقيمة الناتجة من الخطوة 4 هو sqrt (26/4) = 2.55.

إذن، الانحراف المعياري للبيانات 3 و7 و8 و2 هو 2.55. وعندما يُطبَّق هذا التعريف على لعبة كازينو، يكون الانحراف المعياري هو «متوسط المسافة بين نتيجة جولة من لعبة الكازينو والعائد المتوسط (نسبة العائد النظرية RTP) لتلك اللعبة». بعبارة أخرى، ننظر إلى العوائد المختلفة التي تقدمها لعبة الكازينو، والنتائج المختلفة الممكنة للاعب، ونسأل: «ما مدى بُعد هذه العوائد في المتوسط عن العائد النظري المتوقع؟» والجواب هو «الانحراف المعياري»، وكما ذكرنا سابقاً، نرمز لهذه القيمة بـ σ. وإلى جانب «الانحراف المعياري»، يُشار عادةً إلى مفهومي «التباين» و«التقلب». ويُعرَّف التباين بأنه مربّع الانحراف المعياري، أي التباين = σ2. وهو القيمة التي نحصل عليها في الخطوة رقم 4 من حساب الانحراف المعياري. والغرض من تقديم التباين هو أن العديد من الحسابات الرياضية تصبح أسهل، لأسباب تقنية بحتة، عند تطبيقها على التباين.

سنستخدم كلمة «التباين» بشكل عام، مع الأخذ في الاعتبار أنها تقيس الشيء نفسه الذي يقيسه الانحراف المعياري: فكل ما عليك فعله هو أخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري. ومن بين الأسباب الكثيرة التي تجعل الكُتّاب واللاعبين وإدارات الكازينو ومطوّري الألعاب يفضلون كلمة «التباين» أنها أقصر وأسهل في الكتابة وأقل تقنية في وقعها وتحتوي على مقاطع صوتية أقل من «الانحراف المعياري». فمن الأكثر بديهية أن نقول إن لعبة ما ذات «تباين مرتفع» بدلاً من القول إنها ذات «انحراف معياري مرتفع». وأخيراً، كثيراً ما يُستخدم مصطلح التقلب كمرادف للانحراف المعياري أو التباين، حسب السياق. ويُستخدم التقلب أيضاً بشكل غير رسمي لوصف درجة عدم القابلية للتنبؤ في قياس ما أو في تعامل مالي، مثل المقامرة. وعبارات مثل «تقلب مرتفع» تُطبَّق عادةً على الأدوات المالية التي تشهد تحركات صعوداً وهبوطاً كبيرة. وبالمثل، فإن «التقلب المنخفض» يشير إلى حركة تدريجية. وبشكل بديهي، كلما كانت قيمة الانحراف المعياري (التباين، التقلب) أكبر، كانت البيانات أكثر تشتتاً أو انحرافاً عن المتوسط. أما الانحراف المعياري (التباين، التقلب) الذي يساوي صفراً فيعني أن كل عنصر من البيانات له القيمة نفسها التي يمثلها متوسط جميع البيانات. وسنستكشف هذه المسائل من خلال مقارنة وظيفة يومية بتجربة لعب لعبة كازينو.

لنفترض أنك تعمل في وظيفة وأن راتبك 1,500 دولار أسبوعياً. سرعان ما تعتمد على ثبات هذا الدخل. فتتخذ قراراتك بشأن المشتريات والعطلات والرعاية الصحية وأمور أخرى بناءً على معرفتك بمبلغ نقدي محدد بدقة سيُدفع لك في تاريخ معين. وفي أي وقت تكون فيه جميع نقاط البيانات متطابقة، يكون الانحراف المعياري صفراً. ولأن نقطة البيانات الوحيدة هي 1,500 دولار، فإن متوسط راتبك كل جمعة هو 1,500 دولار. والانحراف المعياري هو σ = 0.00 دولار. سنجرّب الآن بعض الطرق الأخرى للحصول على الراتب. وجميع هذه الطرق لها الراتب المتوقع نفسه: الحصول على 1,500 دولار أسبوعياً على المدى الطويل.

1. لنفترض أنك في كل يوم جمعة ترمي حجر نرد واحداً بستة أوجه لتحديد راتبك الأسبوعي. يكون راتبك 0 دولار إذا ظهر الرقم «1»؛ و500 دولار إذا ظهر «2»؛ و1,000 دولار إذا ظهر «3»؛ و2,000 دولار إذا ظهر «4»؛ و2,500 دولار إذا ظهر «5»؛ و3,000 دولار إذا ظهر «6». إذن متوسط راتبك هو: (0 دولار + 500 دولار + 1,000 دولار + 2,000 دولار + 2,500 دولار + 3,000 دولار) / 6 = 1,500 دولار. وباستخدام الخطوات 1 – 5 المذكورة أعلاه، يكون الانحراف المعياري σ = 1,080.23 دولار.

2. لنفترض أنك في كل يوم جمعة ترمي قطعة نقود. إذا ظهر الوجه، تحصل على 3,000 دولار، وإذا ظهر الظهر، لا تحصل على شيء. من الواضح أن متوسط راتبك هو 1,500 دولار، وبالتالي فإنك على المدى الطويل تكسب المبلغ نفسه. والانحراف المعياري هو σ = 1,500.00 دولار

3. لنفترض أنك في كل يوم جمعة ترمي حجر نرد واحداً بستة أوجه لتحديد راتبك الأسبوعي. يكون راتبك 0 دولار إذا أظهر النرد 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5. وتحصل على 9,000 دولار إذا أظهر النرد الرقم 6. متوسط راتبك هو (0 دولار + 0 دولار + 0 دولار + 0 دولار + 0 دولار + 9,000 دولار) / 6 = 1,500 دولار. والانحراف المعياري هو σ = 3,354.10 دولار.

4. وأخيراً، لنفترض أنك في كل يوم جمعة ترمي حجري نرد. إذا كان المجموع 12 تحصل على 54,000 دولار. وفي أي مجموع آخر للنردين، تحصل على 0 دولار. يمكنك إجراء الحساب أو لا، لكن راتبك في المتوسط هو 1,500 دولار أسبوعياً. والانحراف المعياري هو σ = 8,874.12 دولار.

سأشعر بعدم ارتياح شديد لو كانت لديّ وظيفة يومية ولا أعرف إن كنت سأتقاضى راتبي يوم الجمعة أم لا. أريد أن أعرف أن ألفاً وخمس مئة دولار ستكون في يدي. وإذا أردت المقامرة بأقل قدر من التقلب، فستكون الطريقة 1 هي الخيار. وإذا أردت المقامرة على راتبي بأكبر قدر من التقلب، فستكون الطريقة 4 هي الخيار. معظمنا لا يريد أي تباين على الإطلاق عندما يتعلق الأمر بوظيفته اليومية. وبالعكس، عندما يلعب الناس لعبة كازينو، فإنهم مستعدون لأن يدفعوا للكازينو نسبة معينة من رهاناتهم مقابل الحصول على تجربة تباين تناسب مستوى راحتهم. فالمنتج الذي يشتريه العميل هو التباين ودفعة الأدرينالين التي تصحبه. لن يلعب أحد على ماكينة سلوت بتباين صفري يخسر فيها 5 سنتات من رهانه البالغ دولاراً واحداً في كل مرة يسحب الذراع. ولن يستمتع اللاعبون كذلك بالمراهنة بدولار واحد في الماكينة التي تحمل عبارة «Change» بميزة بيت 0% وتباين صفري. كلتا هاتين اللعبتين ذات التباين الصفري تبدوان سخيفتين تماماً. ومع ذلك، من المعروف أن بعض اللاعبين يلعبون بتباين صفري على الروليت– حيث يضعون الرهان نفسه على جميع الأرقام الـ38؛ وهذه الطريقة تخسر ما يزيد قليلاً على 5 سنتات لكل دولار يُراهن به. ويفعل اللاعبون ذلك، على سبيل المثال، كوسيلة للحصول على مشروبات مجانية أو مزايا أخرى. وبالمثل، فإن لعب رهان Banker وPlayer في الباكارات في الوقت نفسه، أو رهاني Pass وDon’t Pass معاً في الكرابس، هي حالات ذات تقلب منخفض جداً: إذ تُخسر في معظم الجولات قيمة محددة توازي ميزة البيت.

لنلقِ نظرة على الانحراف المعياري في اليانصيبين.

اليانصيب 1. في 9 نقاط بيانات، لدينا قيمة 100,000 دولار كقيمة للبيانات، وفي 999,991 نقطة بيانات لدينا قيمة 0 دولار كقيمة للبيانات. والانحراف المعياري هو σ = 300.00 دولار (والتباين هو σ2 = 89,999.19 دولار).

اليانصيب 2. في 900,000 نقطة بيانات، لدينا قيمة 1 دولار كقيمة للبيانات، وفي 100,000 نقطة بيانات لدينا قيمة 0 دولار كقيمة للبيانات. والانحراف المعياري هو σ = 0.30 دولار (والتباين هو σ2 = 0.09 دولار).

بالنسبة لمعظم اللاعبين، يكون التباين في اليانصيب 1 مرتفعاً جداً وفي اليانصيب 2 منخفضاً جداً. فاللاعبون يحبون وجود مدى معين من التباين في ألعاب الكازينو التي يلعبونها. فأحياناً يجد التباين المرتفع رواجاً، لكن التباين المنخفض لا يجد رواجاً تقريباً على الإطلاق. فكما أن العملاء لا يريدون التباين عندما يكون جزءاً من دخلهم، فإنهم يريدونه بالفعل عندما يكون جزءاً من الترفيه في اللعب. فبالنسبة لمعظمنا، مستوى الراحة في الراتب الأسبوعي هو تباين بقيمة 0 دولار. لكن عندما يجلس اللاعب أمام لعبة كازينو، فإن الأمر كله يتعلق بالتباين. التباين يخلق الإثارة. التباين يحرّك دفعة الأدرينالين. التباين هو المنتج.